こんにちは、マイクです。

前回までの記事はこちらから：

■「マイクの定理」とその応用(1)
■「マイクの定理」とその応用(2)
■「マイクの定理」とその応用(3)


ではいよいよ、式(3)を証明しましょう。
\[D_n(t)=A_n(t)\tag{3}\]

おー、なんとシンプルな式♪笑


では右辺から攻めていきましょう。

式(2)より、\[A_n(t)=n(\mu_n(t)-\mu_n(t-1))\]ですが、ここで単純移動平均の定義から、\[\mu_n(t)=\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}p(t-j)\]に注意すると、
\begin{align}
A_n(t)&=n\left(\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}p(t-j)-\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}p(t-j)\right)\\
&=\sum_{j=0}^{n-1}p(t-j)-\sum_{j=1}^{n}p(t-j)\tag{4}\\
&=p(t)-p(t-n)\tag{5}
\end{align}と、非常にすっきりした形となりました！

式(4)から(5)への展開で、\(j=1,\cdots,n-1\)について、\(p(t-j)\)が全てキャンセルされるのがミソです。

改めて式(5)を見ると、これは式(1)から\(D_n(t)\)に他なりませんので、\[D_n(t)=A_n(t)\tag{3}\]が証明されました。


さて・・・


この「マイクの定理」が意味することは何でしょうか？


このチャートをじっくり見て考えてみてください：



考えましたか？

自分の頭で考えることはとても大切です。

答は次回、詳しく説明しますね♪


では、今日もポチっと☆