こんにちは、マイクです。

前回の記事では、同期間のSMAとEMAの重みを比較して、EMAの「期間」が持つ意味を説明しました。

ここで、読者のＴさんから質問を頂きました：

マイクさん
こんにちわ、Ｔです。

今までＥＭＡは何を表しているのかよくわからず敬遠していましたが、重みを比較した図を見て、とてもイメージがわきました。

それで一つ疑問に思ったのですが、ＥＭＡの式を見ると、計算に無限のデータを使ってますが、実際にはどうやって計算してるんですか？

どこかで打ち切っているのでしょうか？

はい、これはもっともな疑問ですね！

実はEMAは、実際にはたった2つの値を使って計算できます。


？？？


無限のデータを使ってるはずなのに、2つってどういうこと！？


という声が聞こえてきそうですが・・・


その2つとは、

• 現在の終値
• ひとつ前のEMAの値

という2つの値です。


では、もう一度期間\(n\)のEMAの定義式を見てみましょう：


\[\mathrm{EMA}(t)=\alpha\sum_{j=0}^{\infty}(1-\alpha)^j p(t-j)\tag{1}\]

但し、\(p(t)\)は時刻\(t\)の終値、

\[\alpha=\frac{2}{n+1}\tag{2}\]

でしたね。

式(1)から、ひとつ前のEMAを求めると、

\begin{align}\mathrm{EMA}(t-1)&=\alpha\sum_{j=0}^{\infty}(1-\alpha)^j p(t-1-j)\\&=\alpha\sum_{j=1}^{\infty}(1-\alpha)^{j-1} p(t-j)\tag{3}\end{align}

両辺に\((1-\alpha)\)を掛けると、

\[(1-\alpha)\mathrm{EMA}(t-1)=\alpha\sum_{j=1}^{\infty}(1-\alpha)^j p(t-j)\tag{4}\]

式(1)と(4)の右辺を見比べると、\(j\)=1以降の項は共通していることがわかります。

そこで(1)から(4)を引くと、右辺は\(j\)=0の項だけが残ります：

\[\mathrm{EMA}(t)-(1-\alpha)\mathrm{EMA}(t-1)=\alpha p(t)\tag{5}\]

よって、

\[\mathrm{EMA}(t)=\alpha p(t)+(1-\alpha)\mathrm{EMA}(t-1)\tag{6}\]

となり、「現在の終値」と「ひとつ前のEMAの値」の2つの値から求められることがわかりました。


わお、何てシンプルな式なんでしょう♪

同時に、実はこの式は、EMAの持つある重要な特徴を示しています。


それは・・・


ちょっと式が続きましたので一休みしましょうか。笑


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